tobe írta:Most nem kijelentek, csak járatom az agysejtjeimet.
Az jo, de en ebbol egy arva kukkot nem ertettem.
(Milyen David Gyula-kerdes van benne?)
--mpt
Dávid Gyula kérdések
Re: Dávid Gyula kérdések
Az jo, de en ebbol egy arva kukkot nem ertettem.
(Milyen David Gyula-kerdes van benne?)
--mpt
Re: Dávid Gyula kérdések
Konkrét kérdés:
Én offline módon követem az előadásokat, és amit eddig megnéztem nagyon érdekes volt.
Dávid Gyula sokat elmondott a fekete lyukakról, és azt is tudjuk, hogy ilyenekből elméletileg sokféle van
(Schwarzshild, Kerr, stb) de vajon a galaxisok középpontjában lévő giga-nagy (szupermasszív) fekete lyukak
milyenek? A tömegük óriási, de talán híg anyagból vannak, és így lehet óriási a méretük is?
Vagy ezek több lyukból álltak össze?
Van erről már bármi tudományos ismeretünk, vagy csak feltételezések?
Én offline módon követem az előadásokat, és amit eddig megnéztem nagyon érdekes volt.
Dávid Gyula sokat elmondott a fekete lyukakról, és azt is tudjuk, hogy ilyenekből elméletileg sokféle van
(Schwarzshild, Kerr, stb) de vajon a galaxisok középpontjában lévő giga-nagy (szupermasszív) fekete lyukak
milyenek? A tömegük óriási, de talán híg anyagból vannak, és így lehet óriási a méretük is?
Vagy ezek több lyukból álltak össze?
Van erről már bármi tudományos ismeretünk, vagy csak feltételezések?
Re: Dávid Gyula kérdések
Üdv.
Teljesen egyetértek Sándor Lászlóval abban, hogy nem szabad összekeverni a valóságot, a valóságról készített modellel. Minél több paramétert teszünk bele, annál pontosabb lesz a modell, persze teljes pontossággal soha sem fogja leírni a valóságot. Erre nagyon jó példa az időjárás előrejelzés. Minél komplexebb egy rendszer annál kaotikusabb a viselkedése, az a bizonyos pillangó szárnycsapása amiről mindenki már hallott. De ahogy Dávid Gyula mondta: melyik pillangó, melyik szárnycsapása? Mik a releváns paraméterek? Rossz volt Newton gravitációs elmélete? Természetesen nem. Le tudja írni ez az elmélet az egymás körül nagy sebességgel keringő neutroncsillagok által keltett gravitációs hullámokat? Nem, mivel ez már túl van az elmélet érvényességi körén. Ehhez már relativitás elmélet kell. Minden valós számot meg lehet felezni, ez a módszer nagyon jól működik a távolságok esetén egészen addig, amíg el nem érünk az atomok szintjéig. Itt beleütközünk a határozatlansági relációba. Vagyis ez a módszer elérte az érvényességének határát? Szerintem ennél sokkal több történt. Elértünk egy abszulut határt.
Amikor a határozatlansági relációt felfedezték, sokan azt gondolták, hogy ez csak a mérés pontatlanságából adódik. A jelenleg érvényes koppenhágai értelmezés szerint, ez a világ alaptulajdonsága. Vagyis bármilyen pontos műszereink lesznek, bármilyen kisérleteket végzünk is el, a kvantumbizonytalanság alapvető törvény marad. A méretskála alsó vége tehát elkenődik. A relativitáselmélet ugyan ezt teszi a felső végével. A téridő görbülete, a fény véges terjedési sebessége, a megfigyelötől távolodva, a távolság és sebesség fogalmát egyre inkább értelmetlenné teszi. Ahogy Dávid Gyula mondta, a földgömbön mozgó hajó sebességét e síktérképre vetítve azt látjuk, hogy egyre lassul és a síktérkép szélén meg is áll. A valóságban eközben nem változott a hajó sebessége. Számomra a méretskála két végének fokozatos elmosódása csodálatos és megnyugtató szimetriája a világnak.
Mi van az eseményhorizonton túl? Ez kicsit olyan mint a párhuzamos Univerzumok elmélete. Mivel ellenőrizni úgy sem lehet, az ember bármit elképzelhet. Múltkor olvastam egy teljes őrültséget. Mert bármelyik fizikus, aki elolvassa, az első mondatnál elneveti magát. A kvarkok kiszabadulnak a börtünükböl, a hadron vákuum pedig elbomlik. Középen megjelenik a gravitáció által összetartott szabad kvarkokból álló ősanyag. Ez nyílván örültség, hiszen ha ki akarnánk szabadítani a kvakokat, akkor kb 300 proton tömegnek megfelelő energiát kelleni befektetni. Ennek nem az lenne az eredménye hogy a kvarkok kiszabadulnának, hanem rengeteg proton antiproton pár keletkezne. De van valami, ami nem hagy ezzel kapcsolatban nyugodni.
Amikor egy óriás csillag végső haláltusájában összeomlik, ledobja a külső rétegeit és a magjában a protonok és elektronok, egyediségüket elveszítve, egy neutrínó kibocsájtásával neutronokká olvadnak össze. Megszületik a neutroncsillag. Ezt az extrém égitestet a gravitáció tartja össze. Na igen, de miért nem bomlanak el a neutronok protonokká és elektronokká 15 perces felezési idővel? Az egyetlen logikus válasz az lehet, hogy az elektronok Compton hulláhossza sokkal nagyobb ezért egyszerűen nem férnének el a neutronok között. Na most feltéve, de meg nem engedve, ha léteznének szabad kvarkok, ezeknek a Compton hullámhossza (100 szoros tömegük miatt) sokkal kisebb lenne mint a protonoké. Ha ezeket a gravitáció szorosan egymáshoz préselné, mint a neutroncsillag belsejében, akkor egyszerűen nem volna elég hely a protonok kialakulásához. A kvarkok kiszabadítására szánt óriási energia ebben az esetben nem alakulhatna át proton antiproton párokká. Persze az is kérdés, hogy honnan volna ennyi energia? Talán a Napban végbemenő proton-neutron átalakuláshoz hasonlóan egyszerűen kölcsön vennénk a fekete lyuk hatalmas gravitációs mezejéből? Tudom, hogy ez az elképzelés a hivatalos álláspont szerint finoman szólva őrültség. Dehát a fekete lyuk eseményhorizontja mögé bármit ellehet dugni.
Teljesen egyetértek Sándor Lászlóval abban, hogy nem szabad összekeverni a valóságot, a valóságról készített modellel. Minél több paramétert teszünk bele, annál pontosabb lesz a modell, persze teljes pontossággal soha sem fogja leírni a valóságot. Erre nagyon jó példa az időjárás előrejelzés. Minél komplexebb egy rendszer annál kaotikusabb a viselkedése, az a bizonyos pillangó szárnycsapása amiről mindenki már hallott. De ahogy Dávid Gyula mondta: melyik pillangó, melyik szárnycsapása? Mik a releváns paraméterek? Rossz volt Newton gravitációs elmélete? Természetesen nem. Le tudja írni ez az elmélet az egymás körül nagy sebességgel keringő neutroncsillagok által keltett gravitációs hullámokat? Nem, mivel ez már túl van az elmélet érvényességi körén. Ehhez már relativitás elmélet kell. Minden valós számot meg lehet felezni, ez a módszer nagyon jól működik a távolságok esetén egészen addig, amíg el nem érünk az atomok szintjéig. Itt beleütközünk a határozatlansági relációba. Vagyis ez a módszer elérte az érvényességének határát? Szerintem ennél sokkal több történt. Elértünk egy abszulut határt.
Amikor a határozatlansági relációt felfedezték, sokan azt gondolták, hogy ez csak a mérés pontatlanságából adódik. A jelenleg érvényes koppenhágai értelmezés szerint, ez a világ alaptulajdonsága. Vagyis bármilyen pontos műszereink lesznek, bármilyen kisérleteket végzünk is el, a kvantumbizonytalanság alapvető törvény marad. A méretskála alsó vége tehát elkenődik. A relativitáselmélet ugyan ezt teszi a felső végével. A téridő görbülete, a fény véges terjedési sebessége, a megfigyelötől távolodva, a távolság és sebesség fogalmát egyre inkább értelmetlenné teszi. Ahogy Dávid Gyula mondta, a földgömbön mozgó hajó sebességét e síktérképre vetítve azt látjuk, hogy egyre lassul és a síktérkép szélén meg is áll. A valóságban eközben nem változott a hajó sebessége. Számomra a méretskála két végének fokozatos elmosódása csodálatos és megnyugtató szimetriája a világnak.
Mi van az eseményhorizonton túl? Ez kicsit olyan mint a párhuzamos Univerzumok elmélete. Mivel ellenőrizni úgy sem lehet, az ember bármit elképzelhet. Múltkor olvastam egy teljes őrültséget. Mert bármelyik fizikus, aki elolvassa, az első mondatnál elneveti magát. A kvarkok kiszabadulnak a börtünükböl, a hadron vákuum pedig elbomlik. Középen megjelenik a gravitáció által összetartott szabad kvarkokból álló ősanyag. Ez nyílván örültség, hiszen ha ki akarnánk szabadítani a kvakokat, akkor kb 300 proton tömegnek megfelelő energiát kelleni befektetni. Ennek nem az lenne az eredménye hogy a kvarkok kiszabadulnának, hanem rengeteg proton antiproton pár keletkezne. De van valami, ami nem hagy ezzel kapcsolatban nyugodni.
Amikor egy óriás csillag végső haláltusájában összeomlik, ledobja a külső rétegeit és a magjában a protonok és elektronok, egyediségüket elveszítve, egy neutrínó kibocsájtásával neutronokká olvadnak össze. Megszületik a neutroncsillag. Ezt az extrém égitestet a gravitáció tartja össze. Na igen, de miért nem bomlanak el a neutronok protonokká és elektronokká 15 perces felezési idővel? Az egyetlen logikus válasz az lehet, hogy az elektronok Compton hulláhossza sokkal nagyobb ezért egyszerűen nem férnének el a neutronok között. Na most feltéve, de meg nem engedve, ha léteznének szabad kvarkok, ezeknek a Compton hullámhossza (100 szoros tömegük miatt) sokkal kisebb lenne mint a protonoké. Ha ezeket a gravitáció szorosan egymáshoz préselné, mint a neutroncsillag belsejében, akkor egyszerűen nem volna elég hely a protonok kialakulásához. A kvarkok kiszabadítására szánt óriási energia ebben az esetben nem alakulhatna át proton antiproton párokká. Persze az is kérdés, hogy honnan volna ennyi energia? Talán a Napban végbemenő proton-neutron átalakuláshoz hasonlóan egyszerűen kölcsön vennénk a fekete lyuk hatalmas gravitációs mezejéből? Tudom, hogy ez az elképzelés a hivatalos álláspont szerint finoman szólva őrültség. Dehát a fekete lyuk eseményhorizontja mögé bármit ellehet dugni.
Re: Dávid Gyula kérdések
Tisztelt érdeklődők!
Egy hétig voltam távol, internet-mentes vidéken, és ezalatt annyi érdekes kérdés meg vélemény gyűlt itt össze, hogy a következő hét sem lesz elég arra, hogy sorban mindenre válaszoljak (főleg, mert vizsgáztatni is kell közben...). De azért megpróbálom. Hamarosan jelentkezem. Addig is köszönöm a bizalmat.
Előzetesként a Fizikus nóta (http://mafihe.hu/fizikus-indulo) -- melynek angol változatát a hét folyamán sikerült nyolcvan külföldi nanofizikusnak megtanítanunk -- utolsó sora:
"...de mindent én sem tudhatok!"
dgy
Egy hétig voltam távol, internet-mentes vidéken, és ezalatt annyi érdekes kérdés meg vélemény gyűlt itt össze, hogy a következő hét sem lesz elég arra, hogy sorban mindenre válaszoljak (főleg, mert vizsgáztatni is kell közben...). De azért megpróbálom. Hamarosan jelentkezem. Addig is köszönöm a bizalmat.
Előzetesként a Fizikus nóta (http://mafihe.hu/fizikus-indulo) -- melynek angol változatát a hét folyamán sikerült nyolcvan külföldi nanofizikusnak megtanítanunk -- utolsó sora:
"...de mindent én sem tudhatok!"
dgy
Re: Dávid Gyula kérdések
Először SanyiLaci kérdésére próbálok válaszolni, annál is inkább, mert mások is megkérdezték már: mit is jelent pontosan "a tér homogenitása".
Laci jó irányban próbálkozik, a térbeli eltolások mint transzformációk vizsgálatával. Azonban rögtön az elején félrecsúszik a matek, ugyanis az x+y képlet felírásával (ahol x és y két pont -- általában több komponensű -- koordinátáit jelenti) feltételezzük, hogy a pontokat jellemző vektorok vagy koordináták összeadhatók, azaz a "fizikai tér" a matematikai "lineáris tér" fogalommal írható le. Ez pedig az áltrelben nem áll fenn!
Lacinak a vektortér axiómáira és azok függetlenségére vonatkozó állításai mind helyesek, de nincs közük a vizsgált problémához. A lineáris transzformációk "homogenitása" (mely a geometriai "középpontos nagyítás" művelethez kapcsolódik) és a tér "homogenitása" egészen más fogalmak, az utóbbinak inkább a tej, a bor vagy a parizer homogenitásához van köze, azaz ahhoz, hogy a különböző térbeli pontokban azonosak-e a vizsgált rendszer tulajdonságai. (Többször panaszkodtam már arra, hogy kevés a közismert latin szó, ezért sok latin eredetű tudományos szakkifejezést igen sok értelemben használnak -- a "vektor" szónak pl 24 különböző értelmezését sikerült összeszámolnom...) Ezért a Laci által kínált értelmezési lehetőségek egyike sem áll fenn. A lineáris algebra matematikája itt nem használható!
Általánosabb térfogalmat, a Riemann-tér, még általánosabban a sokaságok matematikáját kell használnunk. Itt a koordinátáknak nincs közvetlen fizikai jelentése (sokszor hangsúlyoztam, hogy lényegében teljesen önkényesen adhatók meg), maguk a térbeli pontok pedig nem jellemezhetők vektorokkal, amiket össze lehetne adni. Röviden: a Riemann-tér nem vektortér.
A szimmetriák, a transzformációk leírására itt bonyolultabb fogalomrendszer szolgál. Első lépésben csak infinitézimálisan kicsiny transzformációkat engedünk meg, amelyek a sokaság pontjait "szomszédos", infinitézimálisan közeli pontokba viszik át. Egy ilyen transzformációt minden pontban egy vektorral jellemezhetük (ezek a vektorok nem a sokaságban, hanem az adott pontbeli érintőtérben vannak). Így a sokaság minden pontjában megadtunk egy vektort, azaz a sokaságon egy vektormezőt. Ha most végrehajtjuk az infinitézimális transzformációt, azaz a sokaság minden pontját az ott megadott vektor alfaszorosának megfelelően elcsúsztatjuk (ahol alfa egy infinitézimálisan kicsiny szám), akkor megkérdezhetjük, hogy vajon hogy változott a geometria a sokaság adott koordinátájú pontjában. A "geometriát" a metrikus tenzor komponenseivel írjuk le, tehát ezek változását kell követnünk. Ha a metrikus tenzor a transzformáció során nem változott, az adott transzformációt a sokaság "szimmetria-transzformációjának" nevezzük, a megfelelő vektormezőt pedig Killing-mezőnek. Ilyen inf. transzformációk egymás utáni elvégzésével véges transzformációkat is felépíthetünk. (A helyzetet bonyolítja, hogy ugyanazt a geometriát többféleképpen is paraméterezhetjük, ezért lehet, hogy a metrikus tenzor formális megváltozása nem takar igazi geometriai változást. Ezért tulajdonképpen a metrikák ekvivalencia-osztályait kell vizsgálnunk.)
Egy példa: legyen a sokaság a gömbfelület, a transzformáció pedig az egyik tengely körüli forgatás. ha a tengelyhez illeszkedő koordináta-rendszert választunk, a Killing-mező mindenütt a szélességi körök irányába mutató, ám nem egyforma hosszúságú (a sarkok közelében rövid, az egyenlítőn a leghosszabb) vektorokból áll. Ha viszont nem így választjuk a KR-t (pl a Budapesten átmenő tengely körül forgatunk, de továbbra is a szokásos földrajzi KR-t használjuk), igen bonyolult lesz felírni a "srégen" álló Killing-mező vektorainak északra és keletre mutató komponenseit (szép házi feladat térképészeknek vagy diffgeósoknak) -- bár a két szitu matematikailag azonos, csak a leírás bonyolultabb...
Ha egy sokaságon több Killing-mező (azaz több szimmetria-transzformáció) is megadható, megkereshetjük közülük a matematikailag függetleneket, vizsgálhatjuk a transzformációk kompozícióit stb -- végül rájöhetünk, hogy a szimmetria-trafók csoportot alkotnak, a Killing-mezők pedig a csoport Lie-algebrájának reprezentációját alkotják (egy megfelelően definiált antikommutatív műveletre). Ez akkor is igaz, ha a koordináta-rendszer önkényes választása eleinte eltakarja a sokaság igazi szimmetriáját. Képzeljük el, hogy a földgömböt összevissza kanyargó "amőba"-koordinátákkal hálóznánk be. Ebben a KR-ben egy egyszerű elforgatás leírása igen keserves mulatság lenne. De az egymástól független szimmetria-transzformációk Lie-algebrájának gondos vizsgálatával felismerhetnénk a jól ismert SO(3) forgáscsoportot, és rájöhetnénk, hogy a sokaság nem más, mint egy igen bután paraméterezett gömb...
Ez a logika fordítva is működik. Ha azt szeretném, hogy hogy gömbszimmetrikus (azaz az SO(3) csoportra nézve invariáns) téridőt vizsgáljak, felírhatom a feltételezett Killing-mezőkre az SO(3) Lie-algebrájának megfelelő összefüggéseket -- ezek a keresett mezőkre vonatkozó differenciálegyenletek lesznek. Ezek megoldása lehetővé teszi a "jó", a sokaság szimmetriáihoz jól illeszkedő koordináták választását. (Erről is beszéltem a sorozatban: minden önkényes koordinátázás ekvivalens matematikailag, de vannak közülük olyanok, amelyek az adott problémához jobban illeszkednek, ezzel leegyszerűsítik az egyenletek alakját és a további számításokat.) Lényegében ezt csinálta Schwarzschield (persze matematikailag jóval kevésbé tudatosan), amikor egy gömbszimmetrikus objektum körüli -- és ezért szintén gömbszimmetriával bírónak feltételezett -- üres téridőben kereste az Einstein-féle gravitációs egyenletek megoldásait. A jól megválasztott koordinátáknak köszönhetően a 10 db négyváltozós függvényre vonatkozó 10 db másodrendű nemlineáris parciális diffegyenlet helyett csak 2 db egyváltozós függvényre vonatkozó 2 db közönséges diffegyenletet kellett megoldania -- és ezeket sikerült zárt alakban integrálnia.
Mi köze mindennek a tér homogenitásához? Válasszunk ki a sokaságban egy pontot, és hattassuk rá a sokaság szimmetriacsoportjának minden elemét. Az így kapott halmazt hívjuk az adott pont "orbitjának". (Egyszerű példa: legyen a sokaság a sík, rögzített középponttal. Ekkor a szimmetriacsoport az origó körüli forgatásokból és az origón átmenő egyenesekre való tükrözésekből áll. Egy rögzített pontnak ezen transzformációk által alkotott képei egy origó középpontú kört alkotnak. Minden pont a saját körén "mozdul el", ennek egy másik pontjába transzformálódik, de egy más sugarú körre sohasem kerül át.) Könnyű belátni, hogy az "egy orbiton lenni" kapcsolat ekvivalenciareláció, amely a sokaság pontjait ekvivalenciaosztályokra bontja. Az előző példában a sík felfogható az origó körüli különböző sugarú körök együttesének: minden ponton átmegy egy (és csak egy) kör, ezek nem metszik egymást,és folytonosan, hézag nélkül lefedik a síkot.
Az előző példában rögzítettük az origőt, így a szimmetriacsoport csak forgatásokat és bizonyos tükrözéseket tartalmazott. Vessük el most az origó rögzítésének követelményét -- ekkor megengedhetjük az eltolásokat és a tetszőleges egyenesre vonatkozó tükrözéseket is. (Így kapjuk az E(2) euklideszi csoportot.) Könnyű belátni, hogy e transzformációk segítségével a sík tetszőleges pontja tetszőleges másik pontba átvihető. Mi több: tetszőleges geometriai alakzat (pl háromszög) is átvihető bármely más, vele egybevágó háromszögbe. Másképp mondva: a szimmetriacsoport fenti kiterjesztése után egy pont orbitja a teljes sokaságot lefedi, az egész sokaság egyetlen orbitból, egyetlen ekvivalenciaosztályból áll. Nos ekkor mondjuk, hogy a sokaság homogén. A fentiek szerint a sík (és a gömbfelület, valamint a Bolyai-Lobacsevszkij-sík, illetve a végtelen hengerfelület) homogén kétdimenziós sokaság. De nem az pl a tórusz vagy a kúpfelület.
Ne felejtsük el, hogy a kiindulópont a sokaság szimmetriacsoportja volt, azt pedig az definiálta, hogy milyen transzformációkat nevezhetünk szimmetriáknak, azaz mely transzformációk viszik át a sokaság egy pontját és infinitézimális környezetét vele ekvivalens pontba, illetve környezetbe. Emögött tehát ismét egy (mélyebb, elemibb) ekvivalencia-fogalom áll. (A sík szimmetriacsoportja pl bővíthető az alakzatok nagyításával mint transzformációval, ekkor a "hasonló háromszögek" ekvivalensnek számítanak. Erről a sorozat első előadásán beszéltem. Ugyanez a transzformáció a gömbfelületen már nem értelmezhető: ott a nagyobb háromszög szögei is megváltoznak, az alakzat nem "hasonló" a kisebbhez, a "hasonlóság" fogalma nem működik, nem ekvivalencia-reláció.)
A Riemann-geometriában a sokaságot jellemző alapvető matematikai struktúra a metrika, amelyet a metrikus tenzor ír le (a másik fontos struktúra, a vektormezők differenciálását lehetővé tevő konnexió ebben az esetben visszavezethető a metrikára). Két pont, illetve két környezet akkor ekvivalens, ha ugyanolyan a metrikájuk. (A jó néhány bekezdéssel feljebb megadott eredeti definícióban is ez szerepel.) A háromdimenziós homogén terek részletes osztályozását Bianchi végezte el 1918-ban, megadva a metrikus tenzor lehetséges normálformáit. Ez a rendszer 11 osztályba sorolható végtelen sok homogén teret tartalmaz. Mindez magyarul is részletesen olvasható Landau-Lifsic: Elméleti fizika 2. Klasszikus erőterek című tankönyvének 116. fejezetében (Homogén terek).
A kozmológiában használt homogenitás-fogalom még ennél is többet jelent. Nemcsak a téridő tulajdonságainak, hanem az azt kitöltő anyag jellemzőinek is invariánsnak kell lennie minden megengedett transzformációra nézve. Azaz pl a skaláris, egy adattal jellemezhető fizikai mennyiségek -- sűrűség, nyomás, hőmérséklet stb -- értéke a tér minden pontjában azonos kell, hogy legyen (de az időtől még függhetnek). (A vektoriális és tenzoriális mennyiségek viselkedése bonyolultabb.) Az áltrelben mindehhez hozzájön még az a követelmény, hogy egyáltalán legyen értelme külön "térről" beszélni, azaz globálisan értelmezhetők legyenek az egyidejű "most"-hiperfelületek -- ez a teret kitöltő anyag mozgására nézve speciális feltételek (lényegében örvénymentes áramlás) fennállását követeli meg. Erről részletesen beszéltem a sorozat utolsó két előadásán.
A kozmológiában nem csak a tér homogenitását (azaz a tér pontjainak ekvivalenciáját), hanem izotrópiáját (azaz az irányok ekvivalenciáját) is feltételezik. Ekkor a Bianchi-osztályozás alaposan leegyszerűsödik, összesen három homogén és izotróp tér marad: a fentebb már említett kétdimenziós esetek analogonjai, a görbületlen (euklideszi) tér, a gömbfelület háromdimenziós megfelelője, a mindenhol állandó pozitív görbületű hipergömb (mely véges térfogatú, ám határtalan, és amely az unásig emlegetett kozmológiai lufi-hasonlat kiindulópontja), valamint a mindenhol állandó negatív görbületű háromdimenziós Bolyai-Lobacsevszkij-tér. Izotróp esetben a vektoriális fizikai mennyiségek mindenhol nulla értékűek, hiszen a vektor iránya megsértené az izotrópiát, kitüntetne egy irányt. A tenzoriális mennyiségek csak a metrikus tenzor többszörösei lehetnek stb. Mindez jelentősen megkönnyíti a vizsgált mennyiségekre vonatkozó fizikai egyenletek felállítását és megoldását.
A Giordano Brunotól származó "kozmológiai elv", a tér homogenitásának feltevése (melyet az utóbbi másfél évtized mérései szilárd alapra helyeztek, ugyanakkor pontosságát is korlátok közé szorították) a megfelelő matematikai apparátussal (a diffgeo és a csoportelmélet fogalmaival) kifejezve és kiegészítve már nem olyan egyszerű, mint elsőre gondolnánk, ám annál hatékonyabb eszköze lett a fizikai és kozmológiai kutatásnak.
dgy
Laci jó irányban próbálkozik, a térbeli eltolások mint transzformációk vizsgálatával. Azonban rögtön az elején félrecsúszik a matek, ugyanis az x+y képlet felírásával (ahol x és y két pont -- általában több komponensű -- koordinátáit jelenti) feltételezzük, hogy a pontokat jellemző vektorok vagy koordináták összeadhatók, azaz a "fizikai tér" a matematikai "lineáris tér" fogalommal írható le. Ez pedig az áltrelben nem áll fenn!
Lacinak a vektortér axiómáira és azok függetlenségére vonatkozó állításai mind helyesek, de nincs közük a vizsgált problémához. A lineáris transzformációk "homogenitása" (mely a geometriai "középpontos nagyítás" művelethez kapcsolódik) és a tér "homogenitása" egészen más fogalmak, az utóbbinak inkább a tej, a bor vagy a parizer homogenitásához van köze, azaz ahhoz, hogy a különböző térbeli pontokban azonosak-e a vizsgált rendszer tulajdonságai. (Többször panaszkodtam már arra, hogy kevés a közismert latin szó, ezért sok latin eredetű tudományos szakkifejezést igen sok értelemben használnak -- a "vektor" szónak pl 24 különböző értelmezését sikerült összeszámolnom...) Ezért a Laci által kínált értelmezési lehetőségek egyike sem áll fenn. A lineáris algebra matematikája itt nem használható!
Általánosabb térfogalmat, a Riemann-tér, még általánosabban a sokaságok matematikáját kell használnunk. Itt a koordinátáknak nincs közvetlen fizikai jelentése (sokszor hangsúlyoztam, hogy lényegében teljesen önkényesen adhatók meg), maguk a térbeli pontok pedig nem jellemezhetők vektorokkal, amiket össze lehetne adni. Röviden: a Riemann-tér nem vektortér.
A szimmetriák, a transzformációk leírására itt bonyolultabb fogalomrendszer szolgál. Első lépésben csak infinitézimálisan kicsiny transzformációkat engedünk meg, amelyek a sokaság pontjait "szomszédos", infinitézimálisan közeli pontokba viszik át. Egy ilyen transzformációt minden pontban egy vektorral jellemezhetük (ezek a vektorok nem a sokaságban, hanem az adott pontbeli érintőtérben vannak). Így a sokaság minden pontjában megadtunk egy vektort, azaz a sokaságon egy vektormezőt. Ha most végrehajtjuk az infinitézimális transzformációt, azaz a sokaság minden pontját az ott megadott vektor alfaszorosának megfelelően elcsúsztatjuk (ahol alfa egy infinitézimálisan kicsiny szám), akkor megkérdezhetjük, hogy vajon hogy változott a geometria a sokaság adott koordinátájú pontjában. A "geometriát" a metrikus tenzor komponenseivel írjuk le, tehát ezek változását kell követnünk. Ha a metrikus tenzor a transzformáció során nem változott, az adott transzformációt a sokaság "szimmetria-transzformációjának" nevezzük, a megfelelő vektormezőt pedig Killing-mezőnek. Ilyen inf. transzformációk egymás utáni elvégzésével véges transzformációkat is felépíthetünk. (A helyzetet bonyolítja, hogy ugyanazt a geometriát többféleképpen is paraméterezhetjük, ezért lehet, hogy a metrikus tenzor formális megváltozása nem takar igazi geometriai változást. Ezért tulajdonképpen a metrikák ekvivalencia-osztályait kell vizsgálnunk.)
Egy példa: legyen a sokaság a gömbfelület, a transzformáció pedig az egyik tengely körüli forgatás. ha a tengelyhez illeszkedő koordináta-rendszert választunk, a Killing-mező mindenütt a szélességi körök irányába mutató, ám nem egyforma hosszúságú (a sarkok közelében rövid, az egyenlítőn a leghosszabb) vektorokból áll. Ha viszont nem így választjuk a KR-t (pl a Budapesten átmenő tengely körül forgatunk, de továbbra is a szokásos földrajzi KR-t használjuk), igen bonyolult lesz felírni a "srégen" álló Killing-mező vektorainak északra és keletre mutató komponenseit (szép házi feladat térképészeknek vagy diffgeósoknak) -- bár a két szitu matematikailag azonos, csak a leírás bonyolultabb...
Ha egy sokaságon több Killing-mező (azaz több szimmetria-transzformáció) is megadható, megkereshetjük közülük a matematikailag függetleneket, vizsgálhatjuk a transzformációk kompozícióit stb -- végül rájöhetünk, hogy a szimmetria-trafók csoportot alkotnak, a Killing-mezők pedig a csoport Lie-algebrájának reprezentációját alkotják (egy megfelelően definiált antikommutatív műveletre). Ez akkor is igaz, ha a koordináta-rendszer önkényes választása eleinte eltakarja a sokaság igazi szimmetriáját. Képzeljük el, hogy a földgömböt összevissza kanyargó "amőba"-koordinátákkal hálóznánk be. Ebben a KR-ben egy egyszerű elforgatás leírása igen keserves mulatság lenne. De az egymástól független szimmetria-transzformációk Lie-algebrájának gondos vizsgálatával felismerhetnénk a jól ismert SO(3) forgáscsoportot, és rájöhetnénk, hogy a sokaság nem más, mint egy igen bután paraméterezett gömb...
Ez a logika fordítva is működik. Ha azt szeretném, hogy hogy gömbszimmetrikus (azaz az SO(3) csoportra nézve invariáns) téridőt vizsgáljak, felírhatom a feltételezett Killing-mezőkre az SO(3) Lie-algebrájának megfelelő összefüggéseket -- ezek a keresett mezőkre vonatkozó differenciálegyenletek lesznek. Ezek megoldása lehetővé teszi a "jó", a sokaság szimmetriáihoz jól illeszkedő koordináták választását. (Erről is beszéltem a sorozatban: minden önkényes koordinátázás ekvivalens matematikailag, de vannak közülük olyanok, amelyek az adott problémához jobban illeszkednek, ezzel leegyszerűsítik az egyenletek alakját és a további számításokat.) Lényegében ezt csinálta Schwarzschield (persze matematikailag jóval kevésbé tudatosan), amikor egy gömbszimmetrikus objektum körüli -- és ezért szintén gömbszimmetriával bírónak feltételezett -- üres téridőben kereste az Einstein-féle gravitációs egyenletek megoldásait. A jól megválasztott koordinátáknak köszönhetően a 10 db négyváltozós függvényre vonatkozó 10 db másodrendű nemlineáris parciális diffegyenlet helyett csak 2 db egyváltozós függvényre vonatkozó 2 db közönséges diffegyenletet kellett megoldania -- és ezeket sikerült zárt alakban integrálnia.
Mi köze mindennek a tér homogenitásához? Válasszunk ki a sokaságban egy pontot, és hattassuk rá a sokaság szimmetriacsoportjának minden elemét. Az így kapott halmazt hívjuk az adott pont "orbitjának". (Egyszerű példa: legyen a sokaság a sík, rögzített középponttal. Ekkor a szimmetriacsoport az origó körüli forgatásokból és az origón átmenő egyenesekre való tükrözésekből áll. Egy rögzített pontnak ezen transzformációk által alkotott képei egy origó középpontú kört alkotnak. Minden pont a saját körén "mozdul el", ennek egy másik pontjába transzformálódik, de egy más sugarú körre sohasem kerül át.) Könnyű belátni, hogy az "egy orbiton lenni" kapcsolat ekvivalenciareláció, amely a sokaság pontjait ekvivalenciaosztályokra bontja. Az előző példában a sík felfogható az origó körüli különböző sugarú körök együttesének: minden ponton átmegy egy (és csak egy) kör, ezek nem metszik egymást,és folytonosan, hézag nélkül lefedik a síkot.
Az előző példában rögzítettük az origőt, így a szimmetriacsoport csak forgatásokat és bizonyos tükrözéseket tartalmazott. Vessük el most az origó rögzítésének követelményét -- ekkor megengedhetjük az eltolásokat és a tetszőleges egyenesre vonatkozó tükrözéseket is. (Így kapjuk az E(2) euklideszi csoportot.) Könnyű belátni, hogy e transzformációk segítségével a sík tetszőleges pontja tetszőleges másik pontba átvihető. Mi több: tetszőleges geometriai alakzat (pl háromszög) is átvihető bármely más, vele egybevágó háromszögbe. Másképp mondva: a szimmetriacsoport fenti kiterjesztése után egy pont orbitja a teljes sokaságot lefedi, az egész sokaság egyetlen orbitból, egyetlen ekvivalenciaosztályból áll. Nos ekkor mondjuk, hogy a sokaság homogén. A fentiek szerint a sík (és a gömbfelület, valamint a Bolyai-Lobacsevszkij-sík, illetve a végtelen hengerfelület) homogén kétdimenziós sokaság. De nem az pl a tórusz vagy a kúpfelület.
Ne felejtsük el, hogy a kiindulópont a sokaság szimmetriacsoportja volt, azt pedig az definiálta, hogy milyen transzformációkat nevezhetünk szimmetriáknak, azaz mely transzformációk viszik át a sokaság egy pontját és infinitézimális környezetét vele ekvivalens pontba, illetve környezetbe. Emögött tehát ismét egy (mélyebb, elemibb) ekvivalencia-fogalom áll. (A sík szimmetriacsoportja pl bővíthető az alakzatok nagyításával mint transzformációval, ekkor a "hasonló háromszögek" ekvivalensnek számítanak. Erről a sorozat első előadásán beszéltem. Ugyanez a transzformáció a gömbfelületen már nem értelmezhető: ott a nagyobb háromszög szögei is megváltoznak, az alakzat nem "hasonló" a kisebbhez, a "hasonlóság" fogalma nem működik, nem ekvivalencia-reláció.)
A Riemann-geometriában a sokaságot jellemző alapvető matematikai struktúra a metrika, amelyet a metrikus tenzor ír le (a másik fontos struktúra, a vektormezők differenciálását lehetővé tevő konnexió ebben az esetben visszavezethető a metrikára). Két pont, illetve két környezet akkor ekvivalens, ha ugyanolyan a metrikájuk. (A jó néhány bekezdéssel feljebb megadott eredeti definícióban is ez szerepel.) A háromdimenziós homogén terek részletes osztályozását Bianchi végezte el 1918-ban, megadva a metrikus tenzor lehetséges normálformáit. Ez a rendszer 11 osztályba sorolható végtelen sok homogén teret tartalmaz. Mindez magyarul is részletesen olvasható Landau-Lifsic: Elméleti fizika 2. Klasszikus erőterek című tankönyvének 116. fejezetében (Homogén terek).
A kozmológiában használt homogenitás-fogalom még ennél is többet jelent. Nemcsak a téridő tulajdonságainak, hanem az azt kitöltő anyag jellemzőinek is invariánsnak kell lennie minden megengedett transzformációra nézve. Azaz pl a skaláris, egy adattal jellemezhető fizikai mennyiségek -- sűrűség, nyomás, hőmérséklet stb -- értéke a tér minden pontjában azonos kell, hogy legyen (de az időtől még függhetnek). (A vektoriális és tenzoriális mennyiségek viselkedése bonyolultabb.) Az áltrelben mindehhez hozzájön még az a követelmény, hogy egyáltalán legyen értelme külön "térről" beszélni, azaz globálisan értelmezhetők legyenek az egyidejű "most"-hiperfelületek -- ez a teret kitöltő anyag mozgására nézve speciális feltételek (lényegében örvénymentes áramlás) fennállását követeli meg. Erről részletesen beszéltem a sorozat utolsó két előadásán.
A kozmológiában nem csak a tér homogenitását (azaz a tér pontjainak ekvivalenciáját), hanem izotrópiáját (azaz az irányok ekvivalenciáját) is feltételezik. Ekkor a Bianchi-osztályozás alaposan leegyszerűsödik, összesen három homogén és izotróp tér marad: a fentebb már említett kétdimenziós esetek analogonjai, a görbületlen (euklideszi) tér, a gömbfelület háromdimenziós megfelelője, a mindenhol állandó pozitív görbületű hipergömb (mely véges térfogatú, ám határtalan, és amely az unásig emlegetett kozmológiai lufi-hasonlat kiindulópontja), valamint a mindenhol állandó negatív görbületű háromdimenziós Bolyai-Lobacsevszkij-tér. Izotróp esetben a vektoriális fizikai mennyiségek mindenhol nulla értékűek, hiszen a vektor iránya megsértené az izotrópiát, kitüntetne egy irányt. A tenzoriális mennyiségek csak a metrikus tenzor többszörösei lehetnek stb. Mindez jelentősen megkönnyíti a vizsgált mennyiségekre vonatkozó fizikai egyenletek felállítását és megoldását.
A Giordano Brunotól származó "kozmológiai elv", a tér homogenitásának feltevése (melyet az utóbbi másfél évtized mérései szilárd alapra helyeztek, ugyanakkor pontosságát is korlátok közé szorították) a megfelelő matematikai apparátussal (a diffgeo és a csoportelmélet fogalmaival) kifejezve és kiegészítve már nem olyan egyszerű, mint elsőre gondolnánk, ám annál hatékonyabb eszköze lett a fizikai és kozmológiai kutatásnak.
dgy
Re: Dávid Gyula kérdések
Sanyilaci írta:Uhh.
Hááát, köszi Gyula, ennél kicsit egyszerűbbre számítottam, de azért átjött! Kemény volt, de abszolút követhető és szép példákkal felhomályosított. Köszi. Most legalább már általánosan is tudom, hogy mit jelent ez a fogalom. (Mat. tanár vagyok, nem tanultam Riemann-geo-t, nem tudom geometriából vagy algebrából tanítják, de azért tudtam az algebrához kötni.)
Halihó!
Nagyon örülök, hogy követhető volt matematikailag, amit leírtam. Gratula!
A Riemann-geometriát tudtommal matematikusoknak é fizikusoknak is csak speciális előadásokon tanítják, tanárszakosoknak sehol.
Én mindenesetre a józan paraszti eszemmel azt gondolom (inkább érzem), hogy bizonyos "speciális" esetekben a Riemann-geometria egyszerűbb alakot ölt, a szimmetria-trafók leírása is egyszerűsödhet, esetleg lineárisak lesznek. (Jó, az eltolás kivételével.) Nem tudom pontosan, melyek ezek a "speciális" feltételek, de mondjuk olyanok, amitől speciális mondjuk a spec. rel. az ált. relhez képest. Végülis a Galilei-transzformáció is lineáris, meg a Lorentz is... Engem egyelőre a spec. rel. érdekelt, az meg kb. a Lorentz trafóra épül.
A feltétel pontosan annyi, hogy az alapsokaság görbületlen legyen, azaz a metrikus tenzorból, valamint első és második deriváltjaiból képezhető görbületi tenzor összes komponense azonosan nulla legyen. Ekkor ugyanis a sokaság azonosítható a paraméterterével, ami egy n-dimenziós lineáris tér, ezen pedig lineáris trafók operálnak. A specrel alapsokasága definíció szerint egy négydimenziós affin tér, az origó rögzítésével lineáris térré válik.
Írtad, hogy"feltételezzük, hogy a pontokat jellemző vektorok vagy koordináták összeadhatók, azaz a "fizikai tér" a matematikai "lineáris tér" fogalommal írható le. Ez pedig az áltrelben nem áll fenn!"
Nem akartam én egyelőre az ált. rel matematikáját teljes mélységében megérteni, bőven elég nekem a spec. rel is.
Én viszont azért válaszoltam az áltrel kereteiben, mert az a kérdés, hogy "a tér homogén-e", és hogy ez konkrétan mit jelent, igazából a kozmológiában tehető fel. A lineáris és affin terek a múltkor vázolt értelemben mind homogének, ott tehát a probléma triviális. A Riemann-geometria le tud írni nem homogén tereket is, ebben tehát a kérdés fontossá és eldönthetővé válik.
Az alábbi gondolatmenethez viszont őszintén gratulálok. Azonos azzal, amit a specreles előadás elején emlegettem, mely szerint a specrel levezetéséhez nem kell feltételezni a fénysebesség állandóságát, elég a téridő szimmetriatulajdonságaira, illetve a transzformációk ebből következő csoporttulajdonságaira támaszkodni -- és kijön, hogy csak két lehetőségünk van: a Galilei vagy a Lorentz-trafó. Én ezt kb 25 évvel ezelőtt vezettem le, először 1+1 dimenzióban, később D+1 dimenzióban is. Az előbbit azóta is rendszeresen tanítom, az utóbbit jóval bonyolultabb. Nem tudom, neked mennyire sikerült a levezetés összes részletét precízzé tenni, van benne néhány trükk...
Megpróbáltam semmit nem feltételezni, bár annyit ezek szerint feltételeztem, hogy a pontokhoz koordináták rendelhetőek, amik bár önkényesek, de csak annyira, amennyire a bázisom önkényes. Vettem egy másik koordináta-rendszert, ami az elsőhöz képest u sebességgel mozog valamely irányban. Annyit azért elvárhatok, hogy az origó közös legyen, mert egy eltolással ilyen helyzetbe hozhatom őket.
Nem tudok semmit a trafóról. Ami az első KR-ben x (x,y,z,t) koordinátákkal írható le, az a másik KR-ben A(x). Kinézek egy tetszőleges y pontot, és a közös origót odatolom. Ennek a pontnak a koordinátája a II. rendszerben A(y). Az eredeti x pontom az eltolt rendszerben (I'-ben) x-y. A II' rendszerben ugyanez: A(x)-A(y). Ha elvárom, hogy a két vesszős rendszer között is ugyanaz legyen a trafó, akkor A(x-y)=A(x)-A(y).
Itt volt egy kis hiányosságom, miszerint A(cx)=cA(x). Ezt megpróbáltam betömködni a magam módján, ezért is kérdeztem.
Ez a nehézség úgy oldható fel precízen, ha a téridő homogenitására hivatkozunk. Felvesszük a trafót teljesen általánosan: t' = f(t, r), r' = g(t, r), ahol t az idő, r a helyvektor az egyik KR-ben, t'és r' pedig ugyanezek másik KR.ben, és csak az f és g négyváltozós függvények folytonosságát és diffhatóságát tesszük fel.
Ezek után vesszük a fenti trafó derivált-leképezését a téridő egy pontjában. Ekkor a du = (dt, dx, dy, dx) infinitézimális koordináta/differenciál vektorból egy M(t, r) négyszer négyes mátrix hozza létre a du' differenciál-vektort (amely ugyanazon két szomszédos téridő-pont koordinátája között a másik KR-ben mérhető infinitézimális különbségekből áll). Az M mátrix természetesen még függhet a transzformáció paramétereitől. Most kell hivatkozni a téridő homogenitására: ha a téridő egyik részén veszünk két szomszédos pontot du koordináta-differenciálokkal, és a téridő másik részén két másik pontot ugyanekkora du differenciálokkal, majd áttérünk a vesszős rendszerre, akkor az átszámítási szabály a homogenitás miatt nem függhet attól, hogy hol vagyunk a téridőben. Ezért az M mátrix NEM függhet a t időtől és az r helyvektortól (a trafó konstans paramétereitől természetesen igen). Ha viszont egy transzformáció derivált leképezése konstans, akkor az csak egy (esetleg inhomogén) lineáris transzformáció lehet (azaz a szükségképpen lineáris derivált leképezés felintegrálható): u'= M u + a, ahol az M mátrix már csak a trafó paramétereit tartalmazza, az a konstans négyesvektor pedig az origók eltolásáról ad számot. Ez lényegében ugyanaz a gondolatmenet, amit te a valós számok testének felépítésével próbáltál összehozni, így viszont egy lépésben megvan.
Ezek után már a 4x4-es mátrixot kerestem egy adott bázison. Ki tudtam használni az izotrópiát (8 elemet nullázott a mátrixban, és "középen" is csak egy forgatás maradt, ami némi diszkutálás után már az egységmátrix lett), meg azt is, hogy a trafók szorzata trafót alkot a megfelelő sebességekre. (A sebességek addícióját a levezetés kihozza.) Ki is jött a Galilei is, meg a Lorentz is.
Ezt a részt viszont kicsit elnagyoltnak érzem. Az izotrópia nem nullázza le feltétlenül a mátrixelemeket, több lépéses hosszú levezetés és a trafók csoporttulajdonságának többszörös kihasználása szükséges. Te valószínűleg beforgattad a sebesség irányát az x tengelybe, és két egyirányú trafó egymásutánját vizsgáltad. (Ez az az eset, amit tanítani szoktam.) Egy trafó esetén az x tengely természetesen mindig választható a két KR relatív sebességének irányában, ekkor bizonyos mátrixelemek nullák lesznek. De semmi sem garantálja, hogy egy harmadik, K'' koordináta-rendszer is ugyanebben az irányban mozogjon! Több dimenzióban, nem egyirányú sebességek összetételénél sokkal bonyolultabb a számítás (a mátrixok projektor-felbontását és polárfelbontását is ki kell használni a levezetésben).
A levezetés kritikus lépése az, amikor a két egymás utáni trafó paramétereinek szétválasztásakor az ember rájön, hogy az egyenlet két oldala csak akkor lehet mindig egyenlő, ha konstans -- és így a levezetésben felbukkan egy univerzális, sebesség dimenziójú állandó (amit aztán c-vel lehet jelölni). Közben mellékeredményként megkapjuk a sebességek relativisztikus összeadásának képletét is.
A végső lépés során a diszkusszióban adódó három eset közül az egyiket el kell dobni, mert két véges sebesség "összeadásával" végtelen sebességre vezet, vagy másképp: két párhuzamos pozitív sebesség eredője negatív is lehetne. (Ez az eset igazából a négydimenziós tér euklideszi forgatásait írja le.) Ezeket a furcsaságokat (melyek a "sebesség" intuitív fogalmának ellentmondanak) egy külön axiómával ki kell zárni.
Végül csak két eset marad, ezekben fel lehet ismerni a Galilei-, illetve a Lorentz-transzformáció képleteit. Ez a két trafó tehát kielégíti a levezetés során tett matematikai feltevéseinket -- köztük már csak a kísérlet dönthet (és csak a kísérlet határozhatja meg a levezetésben felbukkant c paraméter tényleges értékét is).
Meg kell még gondolni, hol van további általánosítási lehetőség, mitől "speciális" ez a relativitáselmélet. A levezetés során implicit módon felhasználjuk a koordináta-rendszerek "merevségét": akárhol van nyugalomban egy pont az egyik KR-ben, a másik KR-ből nézve a sebessége ugyanaz. Ha ezt nem tételezzük fel, további lehetőségek nyílnak meg: ez vezet az áltrelhez.
Ez a gondolatmenet teljesen helytelen? Nem lehet speciális esetben az általánosan megfogalmazott homogenitást egyszerűbben értelmezni?
Amikor az első lépésben az "eltolás" fizikai fogalmának matematikai interpretációjaként felírtad az első mínuszjelet, ezzel implicite feltételezted, hogy a vizsgált sokaság affin tér. Ez pedig homogén. A homogenitás egyszerű értelmezése tehát automatikusan be van építve a gondolatmenetbe.
Ez a gondolatmenet teljesen helytelen?
Ez a gondolatmenet -- a fentebb leírt kiegészítésekkel és pontosításokkal -- teljesen helyes, és jobb azoknál, amiket a tankönyvekben olvashatsz, hiszen azok a MM-kísérlet eredményére, illetve annak szokásos interpretációjára támaszkodnak. Ebből a levezetésből az is látszik, hogy a relativitás elve és az arra támaszkodó matek sokkal mélyebben fekszik a fizika épületében, nem egyetlen kísérlet kényszeríti ki alkalmazását, és esetleges megváltoztatása is nagyon nehéz lenne. A relativitáselmélet NEM a fény fizikája, nem is kell benne a fénysebességre vagy a fényterjedés tulajdonságaira hivatkozni. A fény terjedésének leírása nem az elmélet kiindulópontja, hanem hosszú és bonyolult kiépítésének egyik végeredménye.
Na mind1, ez csak egy játék volt. Csak kíváncsi voltam, mire juthatok. Szegény ember abból főz, amit talál otthon.
Sanyilaci
A játék jó dolog. A jó tudomány egyben mindig jó és izgalmas játék is. Akárcsak a főzés. Megfelelő spájzbeli és konyhai készlet, meg jó szakács jó ebédet eredményez.
Üdv
dgy
Re: Dávid Gyula kérdések
Ha annak idején nem lett volna Einstein, vagy hozzá hasonlók, mennyire lett volna törvényszerű, hogy ezek az elméletek létrejöjjenek ? Persze előbb utóbb más valakik, máshogyan eljuthatnak hasonló eredményre, legfeljebb talán másképp nézne ki a levezetés, annak is lehet sok útja, bár lehet nem túl sok. Azért mire ezt valaki megérti nulla szintről kell neki pár hónap kemény tanulás ugye ? Mert nem elég csak minden egymást követő bizonyítási lépést megérteni, hogy az miért jó, hanem valahogy fejben tárolni is kell, egyébként igazándiból nehéz megértésnek nevezni. Az igazi, pedig, ha teljesen magunktól, levezetjük minden segítség nélkül, de úgy, hogy tudjuk is, mit jelent, és mit miért csinálunk.
Itt felsorolom, hogy nekem mely szavak azok, amiket nem tudom mi, nem értem, nem tanultam, vagy elfelejtettem, gondolom mások is így vannak ezzel, csak nem ugyanez a nem értett fogalmak halmaza:
Riemann-geometria
szimmetria-trafók
Galilei-transzformáció
Lorentz
alapsokaság
görbületlen
tenzor
görbületi tenzor
paramétertér
affin tér
tér homogén
szimmetriatulajdonság
KR-ben
infinitézimális koordináta/differenciál vektor
téridő homogenitás
izotrópiá
trafó paramétereinek szétválasztása
Fentebb felsorolt fogalmaknak kellene utánanézni, ami a megértésükhöz szükséges, megtanulni, majd utána lehet értelmezni az előző hozzászólásban leírt mondatokat.
Itt felsorolom, hogy nekem mely szavak azok, amiket nem tudom mi, nem értem, nem tanultam, vagy elfelejtettem, gondolom mások is így vannak ezzel, csak nem ugyanez a nem értett fogalmak halmaza:
Riemann-geometria
szimmetria-trafók
Galilei-transzformáció
Lorentz
alapsokaság
görbületlen
tenzor
görbületi tenzor
paramétertér
affin tér
tér homogén
szimmetriatulajdonság
KR-ben
infinitézimális koordináta/differenciál vektor
téridő homogenitás
izotrópiá
trafó paramétereinek szétválasztása
Fentebb felsorolt fogalmaknak kellene utánanézni, ami a megértésükhöz szükséges, megtanulni, majd utána lehet értelmezni az előző hozzászólásban leírt mondatokat.
Re: Dávid Gyula kérdések
Sziasztok
Lacinak sok mindenben igaza van, és még több mindenben nem. Newton egyszerűen nem jöhetett volna rá a specrelre! Ehhez majdnem 300 év filozófiai (és nem fizikai!) fejlődése és szemléletváltozása hiányzott neki. Meg Bolyai, Galois, Riemann, Mach, Klein és a többiek. Nem a matekjuk, hanem a szemléletük.
Einstein sem jöhetett volna rá a most megbeszélt levezetésre. 1905-ben semmiképpen. Ehhez kellett legalább húsz év Einstein után (és hatására) bekövetkező szemléletváltozás.
Majd leírom részletesen, de most rohannom kell. Nagyon megtisztelő felkérést kaptunk, legmagasabb körökből. Sietek számolni.
dgy
Lacinak sok mindenben igaza van, és még több mindenben nem. Newton egyszerűen nem jöhetett volna rá a specrelre! Ehhez majdnem 300 év filozófiai (és nem fizikai!) fejlődése és szemléletváltozása hiányzott neki. Meg Bolyai, Galois, Riemann, Mach, Klein és a többiek. Nem a matekjuk, hanem a szemléletük.
Einstein sem jöhetett volna rá a most megbeszélt levezetésre. 1905-ben semmiképpen. Ehhez kellett legalább húsz év Einstein után (és hatására) bekövetkező szemléletváltozás.
Majd leírom részletesen, de most rohannom kell. Nagyon megtisztelő felkérést kaptunk, legmagasabb körökből. Sietek számolni.
dgy
Re: Dávid Gyula kérdések
Kedves Laci,
most nincs időm részletesen válaszolni (de majd fogok). Általában igazad van, egy fontos dologban viszont nem.
Az egydimenziós és a többdimenziós Lorentz-trafók összehasonlításáról van szó, azaz az egymással párhuzamos, illetve nem párhuzamos sebességek összetételéről.
Az eltérő irányok figyelembe vétele nem szűkíti, hanem bővíti, és lényegesen módosítja a megoldásokat, a transzformációcsoport szerkezetét!
Az egydimenziós és a többdimenziós eset lényegesen különbözik egymástól. Matematikailag ennek az az oka, hogy az egyparaméteres Lie-csoportok mindig kommutatívak, a többparaméteresek pedig nem. Azt pedig mindenki tudja, hogy a kommutativitás megléte vagy hiánya alapvető különbség.
Nézzünk egy példát: áll a bakter a sínek mellett, elmegy mellette egy vonat V sebességgel. A vonaton a pincér az utasokhoz képest W sebességgel tolja előre a büfékocsit. Mekkora a büfékocsi sebessége a bakterhez képest? Galilei szerint U = V + W. Einstein szerint nem ennyi, a lényeg, hogy létezik egy képlet, amivel V és W ismeretében U-t ki tudjuk számítani. Most nézzük a fordított esetet: a bakterhez képest a vonat W, az utasokhoz képest a büfékocsi V sebességgel halad. Ekkor az Einstein-féle sebesség-összeadási képletből ugyanakkora U sebesség jön ki, mint az előbb. Az egydimenziós sebesség-összeadás tehát kommutatív.
Cseréljük ki most a vonatot egy nagy hajója. Ez a világítótorony őréhez képest V sebességgel halad. V most vektor, mert nem csak a nagyságát, hanem az irányát is meg kell adni. A fedélzeten a pincér tolja a kiskocsit, de nem a hajó tatjától az orra felé, hanem sréhen, az utasokhoz képest W sebességvektorral (ezért kellett nagy hajó, hogy lehessen ferdén közlekedni a fedélzeten). Erre az esetre is levezethető egy "sebesség-összeadási" képlet, ami nagyságrendekkel rondább, mint az előbbi (közismert) formula. Ez a V és a W vektorok alapján kiszámítja az U vektort, ami a kiskocsinak a világítótoronyhoz képesti sebessége. Ha most a fordított helyzetet képzeljük el, tehát a hajó sebessége W, és a kiskocsinak a hajóhoz viszonyított sebessége V, akkor az eredő U sebességvektor különbözni fog az előző esetben kiszámítottól. A nem párhuzamos sebességek "összeadása" tehát nem kommutatív!
Az előbb azért tettem idézőjelbe az "összeadást", mert itt ráadásul más is történik. Az derül ki, hogy a kiskocsit a bakter bizonyos szöggel elfordulva látja! Két sebesség "összeadásának" eredménye tehát nem egy eredő sebesség, hanem egy sebesség és egy elfordulás. Matematikailag szólva: az egyik KR-ről a hozzá képest állandó sebességgel mozgó másikra való áttérések (angolul "boost"-ok, ejtsd: "buszt", jó magyar szó nincs rá) nem alkotnak csoportot: két ilyen transzformáció egymásutánja nem egy ugyanilyen transzformáció: a halmaz nem zárt a műveletre (az első csoportaxióma ugrott). A boostok és a forgatások együtt már csoportot alkotnak, ez a "valódi Lorentz-csoport". (Ennek a tiszta forgatások részcsoportját alkotják, a boostok nem.)
Egy dimenzióban a párhuzamos sebességek összeadása önmagában is csoport, az általad is elvégzett levezetésben ezt kellett kihasználni. De az egydimenziós eredményekből nem lehet közvetlenül következtetni a többdimenziósra, a KR tengelyeinek beforgatása ilyenkor félrevezető lehet, lényeges effektusokat takarna el. Ezért írtam, hogy a többdimenziós Lorentz-trafó levezetése nagyságrendekkel nehezebb feladat, mindenféle mátrixelméleti trükkök és tételek kellenek hozzá.
A többiről majd később (kb a jövő héten) írok. Ez viszont annyira fontos, és annyira nem közismert tulajdonsága a relativitáselméletnek, hogy nem hagyhattam szó nélkül.
üdv
dgy
most nincs időm részletesen válaszolni (de majd fogok). Általában igazad van, egy fontos dologban viszont nem.
Az egydimenziós és a többdimenziós Lorentz-trafók összehasonlításáról van szó, azaz az egymással párhuzamos, illetve nem párhuzamos sebességek összetételéről.
Sanyilaci írta:Ja-ja. De arra is teljesülnie kell, nemdebár?
Az eltérő irányok figyelembe vétele nem szűkíti, hanem bővíti, és lényegesen módosítja a megoldásokat, a transzformációcsoport szerkezetét!
Az egydimenziós és a többdimenziós eset lényegesen különbözik egymástól. Matematikailag ennek az az oka, hogy az egyparaméteres Lie-csoportok mindig kommutatívak, a többparaméteresek pedig nem. Azt pedig mindenki tudja, hogy a kommutativitás megléte vagy hiánya alapvető különbség.
Nézzünk egy példát: áll a bakter a sínek mellett, elmegy mellette egy vonat V sebességgel. A vonaton a pincér az utasokhoz képest W sebességgel tolja előre a büfékocsit. Mekkora a büfékocsi sebessége a bakterhez képest? Galilei szerint U = V + W. Einstein szerint nem ennyi, a lényeg, hogy létezik egy képlet, amivel V és W ismeretében U-t ki tudjuk számítani. Most nézzük a fordított esetet: a bakterhez képest a vonat W, az utasokhoz képest a büfékocsi V sebességgel halad. Ekkor az Einstein-féle sebesség-összeadási képletből ugyanakkora U sebesség jön ki, mint az előbb. Az egydimenziós sebesség-összeadás tehát kommutatív.
Cseréljük ki most a vonatot egy nagy hajója. Ez a világítótorony őréhez képest V sebességgel halad. V most vektor, mert nem csak a nagyságát, hanem az irányát is meg kell adni. A fedélzeten a pincér tolja a kiskocsit, de nem a hajó tatjától az orra felé, hanem sréhen, az utasokhoz képest W sebességvektorral (ezért kellett nagy hajó, hogy lehessen ferdén közlekedni a fedélzeten). Erre az esetre is levezethető egy "sebesség-összeadási" képlet, ami nagyságrendekkel rondább, mint az előbbi (közismert) formula. Ez a V és a W vektorok alapján kiszámítja az U vektort, ami a kiskocsinak a világítótoronyhoz képesti sebessége. Ha most a fordított helyzetet képzeljük el, tehát a hajó sebessége W, és a kiskocsinak a hajóhoz viszonyított sebessége V, akkor az eredő U sebességvektor különbözni fog az előző esetben kiszámítottól. A nem párhuzamos sebességek "összeadása" tehát nem kommutatív!
Az előbb azért tettem idézőjelbe az "összeadást", mert itt ráadásul más is történik. Az derül ki, hogy a kiskocsit a bakter bizonyos szöggel elfordulva látja! Két sebesség "összeadásának" eredménye tehát nem egy eredő sebesség, hanem egy sebesség és egy elfordulás. Matematikailag szólva: az egyik KR-ről a hozzá képest állandó sebességgel mozgó másikra való áttérések (angolul "boost"-ok, ejtsd: "buszt", jó magyar szó nincs rá) nem alkotnak csoportot: két ilyen transzformáció egymásutánja nem egy ugyanilyen transzformáció: a halmaz nem zárt a műveletre (az első csoportaxióma ugrott). A boostok és a forgatások együtt már csoportot alkotnak, ez a "valódi Lorentz-csoport". (Ennek a tiszta forgatások részcsoportját alkotják, a boostok nem.)
Egy dimenzióban a párhuzamos sebességek összeadása önmagában is csoport, az általad is elvégzett levezetésben ezt kellett kihasználni. De az egydimenziós eredményekből nem lehet közvetlenül következtetni a többdimenziósra, a KR tengelyeinek beforgatása ilyenkor félrevezető lehet, lényeges effektusokat takarna el. Ezért írtam, hogy a többdimenziós Lorentz-trafó levezetése nagyságrendekkel nehezebb feladat, mindenféle mátrixelméleti trükkök és tételek kellenek hozzá.
A többiről majd később (kb a jövő héten) írok. Ez viszont annyira fontos, és annyira nem közismert tulajdonsága a relativitáselméletnek, hogy nem hagyhattam szó nélkül.
üdv
dgy
Re: Dávid Gyula kérdések
Megint csak néhány rövid válaszra van időm:
Igen, az U vektor benne van a V és W vektorok síkjában (a hajó merülésétől függetlenül).
Létezik egy viszonylag egyszerű képlet a kiszámítására, de mivel skaláris szorzat és több négyzetgyök is van benne, inkább nem írom ide. Majd.
Ha az elfordulás szögére gondolsz, arra is van egy - az előzőnél jóval bonyolultabb képlet. De az elfordulás tengelyét a két sebességvektor vektoriális szorzata határozza meg.
Az előadáson többször elmondtam, hogy a relativisztikus kinematika a fizika kísérletileg leggyakrabban ellenőrzött területe. Ebben a pillanatban is másodpercenként több százmilliárd alkalommal ellenőrzik a világ különböző részecskegyorsítóiban. Nem közvetlenül az itt tárgyalt alapeffektusokat, hanem bonyolultabb következményeiket. A gyorsítók létének mintegy nyolcvan évében eddig MINDEN relativisztikus sebességű részecske a specrel szabályai szerint mozgott, ütközési és bomlási folyamataik is e szabályokat követték.
Közvetlenebb bizonyíték is van a boostok összerakása sorén fellépő elfordulásra, Thomas-precesszió néven kell keresni. Részletes tárgyalás Taylor-Wheeler: Téridő-fizika című könyvében.
Rossz a hozzáállás, ráadásul nincs köze a fentebb tárgyaltakhoz. A Lorentz-trafókat úgy definiáljuk, mint olyan lineáris trafókat, amelyek invariánsul hagyják a t^2-x^2-y^2-z^2 kvadratikus alakot. Ebből közvetlenül következik, hogy az ilyen trafók csoportot alkotnak (az "akármit" invariánsul hagyó trafókra ez mindig igaz). Ebbe a definícióba viszont belefér, hogy külön t, és külön az x^2+y^2+z^2 kvadratikus alak is invariáns marad - ez pedig a tér (a háromdimenziós tér) közönséges elforgatása. Az ilyen trafók önmagukban is csoportot alkotnak. A háromdimenziós forgatások csoportja tehát részcsoportja a Lorentz-csoportnak. Ezek után meg lehet mutatni, hogy a legáltalánosabb Lorentz-trafó előállítható egy boost (azaz egy olyan trafó, amely áttérést jelent az egyik KR-ből a hozzá képest [u]V[u] sebességgel mozgó KR-re) és egy forgatás egymás után alkalmazásával (amiket esetleg a tér, vagy az idő, vagy mindkettő tükrözése követ). Egy boostot a [u]V[u] sebességvektor három komponense jellemez, az elforgatásokat három szög (pl Euler-szögek) segítségével lehet megadni, így egy általános Lorentz-trafót hat (folytonosan változó) paraméter definiál. Az általad elvégzett számítás végeredményeként egy ilyen általános Lorentz-trafó mátrixát kell(ene) megkapni, ami ügyes trükkökkel felbontható egy forgásmátrix egy egy boostot leíró mátrix szorzatára. Ebben a trafóban tehát benne van a forgatás is: szó sincs róla, hogy a másik KR tengelyei "eleve" el lettek volna forgatva - ezeket maga a trafó hozza létre, amely vagy tartalmaz forgatást, vagy nem (az általános esetben igen).
Mindennek közvetlenül nincs köze ahhoz az effektushoz, amiről korábban volt szó: két tiszta boost (azaz elforgatást nem tartalmazó Lorentz-trafó) eredője egy általános Lorentz-trafó, amely egy boost és egy forgatás szorzata. Azaz annyi köze mégis van, hogy ha előre nem gondoltuk volna végig azt a triviális tényt, hogy a Lorentz-trafók közt a tiszta forgatások is ott vannak, akkor most nem tudnánk hová tenni, értelmezni az eredményt. Mindenesetre az utóbbi eredmény úgy is fogalmazható, hogy a tiszta boostok nem alkotnak csoportot, nem alkotják a Lorentz-csoport egy részcsoportját.
Itt megint nem stimmel valami, nem csak az x, hanem tetszőleges tengely körüli elforgatások is beleférnek!
[/quote]
Például u=0-ra az egységmátrixot kell adja, az meg kizárja az eleve elforgatás esetét. Az azért látszott, hogy ez az alfa szög az u-nak a függvénye, de milyen függvény? Például páratlan fv., a szögek 2 egyirányú trafó során "relativisztikusan" adódnak össze, stb.
[/quote]
Ez teljesen téves! A Lorentz-trafót jellemző [u]V[u] sebességvektor és a benne szereplő elfordulás alfa szöge teljesen független paraméterek, egymástól függetlenül, önkényesen adhatók meg, egyik sem fejezhető ki a másik függvényeként!
Két Lorentz-trafó egymás után elvégzésekor az egyes trafók hat-hat paraméteréből kiszámítható az eredő trafó hat paramétere, de ez olyan bonyolult, hogy egyszerű képlet nincs is rá, csak egy algoritmus a számolásra.
üdv
dgy
Sanyilaci írta:1. A példádhoz visszatérve. Az irányítótorony talpa és a hajó V sebessége kijelöl egy síkot. Merüljön most a gondolatkísérlet erejéig a hajó a fedélzetéig a vízbe. A kézikocsi ebben a síkban mozog. A világítótoronyban ülő megfigyelő számára az eredő U sebesség ebben a síkban marad, vagy ebből kifele fordul?
Igen, az U vektor benne van a V és W vektorok síkjában (a hajó merülésétől függetlenül).
Létezik egy viszonylag egyszerű képlet a kiszámítására, de mivel skaláris szorzat és több négyzetgyök is van benne, inkább nem írom ide. Majd.
2. Ez a szög gondolom egzaktul megkapható alfa(V,W) konkrét függvényeként. Kísérletileg is ellenőrizhető?
Ha az elfordulás szögére gondolsz, arra is van egy - az előzőnél jóval bonyolultabb képlet. De az elfordulás tengelyét a két sebességvektor vektoriális szorzata határozza meg.
Az előadáson többször elmondtam, hogy a relativisztikus kinematika a fizika kísérletileg leggyakrabban ellenőrzött területe. Ebben a pillanatban is másodpercenként több százmilliárd alkalommal ellenőrzik a világ különböző részecskegyorsítóiban. Nem közvetlenül az itt tárgyalt alapeffektusokat, hanem bonyolultabb következményeiket. A gyorsítók létének mintegy nyolcvan évében eddig MINDEN relativisztikus sebességű részecske a specrel szabályai szerint mozgott, ütközési és bomlási folyamataik is e szabályokat követték.
Közvetlenebb bizonyíték is van a boostok összerakása sorén fellépő elfordulásra, Thomas-precesszió néven kell keresni. Részletes tárgyalás Taylor-Wheeler: Téridő-fizika című könyvében.
1/ Tényleg elforgatva lát a II. megfigyelő dolgokat. Tehát a trafó forgatja meg a dolgot, nem pedig a II megfigyelő van eleve elfordulva.
2/ Eleve el volt forgatva a koordináta-rendszere a II. megfigyelőnek. x tengely közös volt, mert azt kijelölte a trafó iránya, de y és z tengelyekre nem találtam semmi természetes iránytűt, hogy biztosíthassam, hogy "egy irányban állnak".
Rossz a hozzáállás, ráadásul nincs köze a fentebb tárgyaltakhoz. A Lorentz-trafókat úgy definiáljuk, mint olyan lineáris trafókat, amelyek invariánsul hagyják a t^2-x^2-y^2-z^2 kvadratikus alakot. Ebből közvetlenül következik, hogy az ilyen trafók csoportot alkotnak (az "akármit" invariánsul hagyó trafókra ez mindig igaz). Ebbe a definícióba viszont belefér, hogy külön t, és külön az x^2+y^2+z^2 kvadratikus alak is invariáns marad - ez pedig a tér (a háromdimenziós tér) közönséges elforgatása. Az ilyen trafók önmagukban is csoportot alkotnak. A háromdimenziós forgatások csoportja tehát részcsoportja a Lorentz-csoportnak. Ezek után meg lehet mutatni, hogy a legáltalánosabb Lorentz-trafó előállítható egy boost (azaz egy olyan trafó, amely áttérést jelent az egyik KR-ből a hozzá képest [u]V[u] sebességgel mozgó KR-re) és egy forgatás egymás után alkalmazásával (amiket esetleg a tér, vagy az idő, vagy mindkettő tükrözése követ). Egy boostot a [u]V[u] sebességvektor három komponense jellemez, az elforgatásokat három szög (pl Euler-szögek) segítségével lehet megadni, így egy általános Lorentz-trafót hat (folytonosan változó) paraméter definiál. Az általad elvégzett számítás végeredményeként egy ilyen általános Lorentz-trafó mátrixát kell(ene) megkapni, ami ügyes trükkökkel felbontható egy forgásmátrix egy egy boostot leíró mátrix szorzatára. Ebben a trafóban tehát benne van a forgatás is: szó sincs róla, hogy a másik KR tengelyei "eleve" el lettek volna forgatva - ezeket maga a trafó hozza létre, amely vagy tartalmaz forgatást, vagy nem (az általános esetben igen).
Mindennek közvetlenül nincs köze ahhoz az effektushoz, amiről korábban volt szó: két tiszta boost (azaz elforgatást nem tartalmazó Lorentz-trafó) eredője egy általános Lorentz-trafó, amely egy boost és egy forgatás szorzata. Azaz annyi köze mégis van, hogy ha előre nem gondoltuk volna végig azt a triviális tényt, hogy a Lorentz-trafók közt a tiszta forgatások is ott vannak, akkor most nem tudnánk hová tenni, értelmezni az eredményt. Mindenesetre az utóbbi eredmény úgy is fogalmazható, hogy a tiszta boostok nem alkotnak csoportot, nem alkotják a Lorentz-csoport egy részcsoportját.
És az, hogy a II. megfigyelő rendszere eleve el van fordulva x tengely körül, az bizony belefér. Sőt, még örültem is, hogy ezen kívül más nem is jöhet szóba!
Itt megint nem stimmel valami, nem csak az x, hanem tetszőleges tengely körüli elforgatások is beleférnek!
[/quote]
Például u=0-ra az egységmátrixot kell adja, az meg kizárja az eleve elforgatás esetét. Az azért látszott, hogy ez az alfa szög az u-nak a függvénye, de milyen függvény? Például páratlan fv., a szögek 2 egyirányú trafó során "relativisztikusan" adódnak össze, stb.
[/quote]
Ez teljesen téves! A Lorentz-trafót jellemző [u]V[u] sebességvektor és a benne szereplő elfordulás alfa szöge teljesen független paraméterek, egymástól függetlenül, önkényesen adhatók meg, egyik sem fejezhető ki a másik függvényeként!
Két Lorentz-trafó egymás után elvégzésekor az egyes trafók hat-hat paraméteréből kiszámítható az eredő trafó hat paramétere, de ez olyan bonyolult, hogy egyszerű képlet nincs is rá, csak egy algoritmus a számolásra.
üdv
dgy